Oplossingen week 49 (4 t/m 10
december)
Deelbaarheid van vormen.
Maandag 4 december:
Stel de afmetingen van een vel
A4 zijn a×b met a<b. Dan geldt dus a/b=(b/2)/a, oftewel 2a2=b2.
Dus (a/b)= 2, ofwel ongeveer 1,414.
Dinsdag 5 december:
Verdeel
de zijden in k gelijke stukken en trek door die verdelende punten lijnen
evenwijdig aan de zijden. Er onstaan dan k2 stukken die
gelijkvormig zijn met de gegeven driehoek. Zelfs geldt: de stukken zijn
even groot. De figuur geeft een voorbeeld voor k2=25.
Woensdag 6 december:
Trek
uit het hoekpunt met de rechte hoek de hoogtelijn; er ontstaan 2 stukken
die gelijkvormig zijn met de gegeven driehoek. Ieder stuk kan op dezelfde
manier worden verdeeld; zie figuur.
Donderdag 7 december:
De snijlijn kan niet een
gebogen of gebroken lijn zijn, dus alleen rechte snijlijnen komen in
aanmerking. Als de snijlijn door een hoekpunt gaat ontstaan ofwel 2 rechte
hoeken (bij een hooogtelijn) ofwel een stompe hoek; zie figuur. Maar dan
moet de gegeven driehoek ook stomphoekig zijn, en wel met een even grote
stompe hoek. Er zijn twee gevallen: de snijlijn gaat door het hoekpunt met
de stompe hoek of door een van de andere hoekpunten. Beide gevallen leiden
tot een tegenspraak.
Vrijdag 8 december:
Stel de rechthoek R meet a×b
met a<b. Dan moet gelden a/b=(b/3)/a, 3a2=b2;
b/a= 3.
Zaterdag 9 december:
De
figuur laat zien dat iedere rechthoek deelbaar is door 4. Als we een van
de stukken weer in vieren verdelen, krijgen we 7 stukken. Met deze truc
kunnen we de getallen 7, 10, 13, 16, 19, .... maken. De volgende figuur
levert de deelbaarheid door 6; hij is onstaan door in de verdeling van 3x3
een paar lijnen weg te vegen. Met onze vorige truc maken we nu de getallen
6, 9, 12, 15, 18, ... Voor het getal 8 gaan we uit van een verdeling in
4x4, en daar vervangen we een hoek van 3x3 door e'e'n grotere rechthoek.
Vanuit 8 kunnen we dan 11, 14, 17, 20, .... maken.
Zondag 10 december:
De
tekening geeft een verdeling in 3 rechthoeken die er kansrijk uitziet.
Stel PQ=1 en PR=a. (We moeten laten zien dat a= (1+ 5)/2).
Wil de linker rechthoek gelijkvormig zijn met de hele rechthoek, dan moet
gelden: PS=1/a. Verder: TU=a-1/a; UV=a2-1; VR=1-(a2-1)=2-a2;
SR=2a-a3. Omdat PS+SR=PR, voldoet a aan 1/a+2a-a3=a.
Dit is te herleiden tot a4-a2-1=0, een
vierkantsvegelijking in a2. We hoeven hem niet eens op lossen: het is
voldoende om te laten zien dat a2=(1+ 5)/2
er aan voldoet.
|