Oplossingen week 47 (20 t/m 26
november)
Schuiven, draaien en
spiegelen.
Maandag 20 november:
Bepaal de middelloodlijnen van AB en CD; het snijpunt M is het middelpunt
van de rotatie.
Dinsdag 21 november:
De constructie van maandag berust op de keuze van twee paar
overeenkomstige punten: het paar A,B en het paar C,D. Bij lijnstukken kun
je de keus op twee manieren maken. In de figuur zijn alleen twee
lijnstukken en de twee middelpunten getekend.
Woensdag 22 november:
Nu zijn er acht mogelijke
rotatiepunten.
Donderdag 23 november:
-
Bepaal de middens van AB en CD. De spiegel gaat door deze middens.
-
Vrijdag 24 november:
Neem een willekeurig punt X op
F, en stel het spiegelbeeld van X is Y. Dan is de afstand XS gelijk aan de
afstand YS (S is het snijpunt van de spiegels). In de tweede spiegel gaat
Y over in Z, en dan is YS = ZS. Samengevat: voor ieder punt X van F is de
afstand tot S gelijk aan de afstand van het 2-maal gespiegelde punt tot S.
Het is intuitief duidelijk dat het resultaat van twee spiegelingen geen
spiegeling is, dus: een draaiing of een verschuiving. Omdat de afstanden
tot S niet veranderen, is het totaal resultaat een draaiing om S.
Zaterdag 25 november:
De
gevraagde hoek is tweemaal zo groot als de hoek tussen de spiegels.
-
Zondag 26 november:
Stel
we draaien over een hoek a om een centrum C, en we spiegelen in een
spiegel S1. Als het resultaat een schuifspiegeling is, dan kunnen we met
de constructie van donderdag de bijbehorende spiegel S2 bepalen. We kiezen
een punt A zo dat de lijn AC een hoek a/2 met de spiegel S1 maakt. De
beelden A' en C' van A resp. C zijn nu eenvoudig te bepalen.De spiegel S2
gaat dan door de middens van AA' en CC'. Het is nu (dank zij de handige
keuze van A) duidelijk dat de hoek tussen S1 en S2 ook a/2 is, en dat de
lijnstukken AC en A'C' evenwijdig aan S2 zijn. Nu moeten we nog laten zien
dat ook een willekeurig punt B evenver van S2 ligt als z'n beeld B', en
dat de verschuiving van B even groot is als die van A (en C). Omdat er
noch bij draaien noch bij spiegelen afmetingen veranderen, zijn de
driehoeken ABC, A1B1C en A'B'C' congruent. (Het punt B moet dus a.h.w.
meedoen met A en C) We moeten nu alleen nog nagaan dat de afstand tussen
van C tot S2 gelijk is aan de afstand van C' tot S2, maar dat is heel
eenvoudig.
|