Oplossingen week 42 (16 t/m 22
oktober)
Curvilineaire gebieden
Maandag 16 oktober:
Als de kleine cirkel straal r
heeft, is de straal van de grote cirkel r 2.
De oppervlakte van de ring is dus (r 2)2
- r2 = r2
Dinsdag 17 oktober:
We snijden de figuur in 3 stukken. Hiervan kun je een rechthoek leggen.
Als we de straal van de cirkelbogen op r stellen, is de oppervlakte van de
rechthoek (en dus van de lotusvorm) 2r2 (met dank aan Sietze
Haarsma voor het herkennen van de fout die erin zat).
Woensdag 18 oktober:
Laat de straal van de cirkelbogen weer r zijn. Teken een vierkant om de
bloen. Stel ieder blaadje heeft een oppervlakte x en de vier overige
stukken y. Dan is 4x + 4y = 4r2 en 2x+y = ( r2)/2.
Los hieruit x en y op: x = (( /2)-1)2,
y = (2-( /2))r2. De oppervlakte van de
bloem is 4x, dus (2 - 4)r2.
Donderdag 19 oktober:
We laten de grijze cirkelschijf doorzichtig worden en we maken de
cirkelbogen af. Dan krijgen we de figuur die je links ziet. Nu kun je snel
inzien (ook door gebruik te maken van het resultaat van woensdag) dat de
gevraagde oppervlakte gelijk is aan 4 r2
- (2 -4)r2 - r2
= ( +4)r2
Vrijdag 20 oktober:
Laat
de zijde van het vierkant 2 zijn. Dan is de oppervlakte c=4. Verder geldt
(zie figuur): 4b+c = ( 2)2
= 2 en a+b = /2. Dus b =
(2 -4)/4 = /2-1 en a = /2
- ( /2 - 1) = 1. De oppervlakte van de vier
maantjes is dus (ook) 4.
Zaterdag 21 oktober:
Laat de straal van de kleine cirkels 1 zijn. Uit het gegeven over het
vierkant volgt dan dat de straal van de grote cirkels 2
is. Nu gledt: AG = AC+CG = 2 + 2 2, dus AD = 1
+ 2, en omdat AB = 2,
geldt BD = 1. Omdat BH = 2, vinden we (Pythagoras!)
HD = 1. De oppervlakte van de schijf HDJE is nu: opp. sector HBJE - opp.
driehoek HBJ = ( 2)2/4
- BD × HD = /2 - 1, dus de oppervlakte van de
lensvormige HCJE is -2. De oppervlakte van de
grijze(?) stukken is dus 3 -2.
Zondag 22 oktober:
Laat de kleine cirkelbogen
straal 1 hebben en de grote cirkelbogen straal 2. Dan is de oppervlakte
van het donkere stuk samen met één van de lichtgrijze stukken gelijk aan
4 /2 = 2 . De rechterhelft
van het donkere stuk is: kwartcirkel ABC - driehoek ABC; de oppervlakte
hiervan is dus 4 /4 - 22/2 =
- 2.
Conclusie: de lichtgrijze stukken hebben ieder een oppervlakte 2 =2( -2)=4,
het donkere stuk heeft oppervlakte 2 -4. |