Oplossingen week 40 (2 t/m 8 oktober)

Lengtes en routes

Maandag 2 oktober:

Oppervlakte driehoek MAB = rc/2 (want de hoogte is r en de basis van AB heeft lengte c). Evenzo is de oppervlakte driehoek MBC = ra/2 en oppervlakte driehoek MCA = rb/2. De drie genoemde driehoeken vormen samen driehoek ABC, dus de oppervlakte driehoek ABC = r(a+b+c)/2.

Dinsdag 3 oktober:

Stel AB=4. Dan is de straal van de cirkelbogen 1, dus de afstand langs de cirkelbogen is 2 (ongeveer 6,28). Het hoogste punt van de traplijn lijkt op hoogte 1/2 te liggen. Dan is de lengte van de traplijn 2×1/2 + 2×1 + 4 = 7.

Woensdag 4 oktober:

Laat de ribbe van de kubus 1 zijn. Dan is PZ+QZ = 2. De lengte van de route over het voorvlak bepalen we het handigst met een uitslag (zie figuur). Deze lengte is (3/2)2, ongeveer 2,12. Via Z is dus korter.

Donderdag 5 oktober:

Ook hier is een uitslag handig. XT + TY = 4 + 3 = 7, waarbij XT over het bovenvlak is gemeten. De lengte over het gebogen oppervlak is ((2)²+3²), ongeveer 6,96; dat is dus iets korter.

Vrijdag 6 oktober:

Laat de dikte d zijn, de lengte L en het aantal windingen n. De lengte van de schroefdraad is dan (( d n)²+L²).

Zaterdag 7 oktober:

De vouwlijn staat loodrecht op de diagonaal PQ en gaat door het midden M. Driehoek PMQ is gelijkvormig met driehoek PSQ, dus MR : SQ = PM : PS. Hieruit vinden we MR = (PM×SQ)/PS = ((1/2)(B²+L²)×B)/L, dus de lengte van de vouwlijn is B(B²+L²)/L.

Zondag 8 oktober:

Oppervlakte driehoek ABC = (1/2)ab
Oppervlakte driehoek MAB = (1/2)rc
Oppervlakte driehoek MBR = (1/2)r(r-a)
Oppervlakte driehoek MAQ = (1/2)r(r-b)
Deze 4 driehoeken vormen samen het vierkant CQMR, met oppervlakte r². Dus (1/2)ab+(1/2)rc+(1/2)r(r-a)+(1/2)r(r-b) = r², en daaruit volgt r = ab/(a+b+c).