Oplossingen week 37 (11 t/m 17 september)

Cijferkwesties.

Maandag 11 september:

Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9, en omgekeerd. Alle cijfers moeten even zijn, dus de som van de cijfers ook. Omdat het getal klein moet zijn, proberen we de cijfersom 18 en een getal van 3 cijfers. Voor het cijfer van de honderdtallen nemen we 2. Zo vind je het antwoord: 288.

Dinsdag 12 september:

abcd - dcba = (1000a + 100b + 10c + d) - (1000d + 100c + 10b + a) = 999a + 90b - 90c - 999d, en dat is deelbaar door 9.

Woensdag 13 september:

125, 1250, 12500, ...

Donderdag 14 september:

x²-(50-x)² = -2500+100x en dat is deelbaar door 100, dus x² en (50-x)² eindigen op 2 dezelfde cijfers.

Vrijdag 15 september:

De beschreven stap laat 1-a+b overgaan in a, waarbij b een cijfer is. Dus 10a+b is deelbaar door a, dus b is deelbaar door a. Ofwel b=0 (o is deelbaar door ieder getal), ofwel a bestaat uit 1 cijfer dat een deler is van b (bijvoorbeeld b-8, a=4).

Zaterdag 16 september:

67²=4489, 667²=444889, 6667²=4448889, enzovoort. Algemeen: A=66...667 = 6×11...11 + 1 = 6×(10ⁿ-1)/9 + 1 = (6×10ⁿ+3)/9. Dan is: A² = (36×10²ⁿ+36×10ⁿ+9)81 = (4×10²ⁿ+4×10ⁿ+1)/9 = (4×10ⁿ(10ⁿ-1))/9 + (8×10ⁿ-8)/9 + 1 = 44...488...89.

Zondag 17 september:

Het "kleinste"getal dat aan de eis voldoet is 105263157894736842. Je vindt dit door reschts af de cijfers te bepalen: eerst was het cijfer rechts een 2; wil het nieuwe getal 2× zo groot zijn, dan moet het cijfer dat dan rechts staat een 4 zijn. Enzovoorts! Een leuk sommetje om op te geven aan mensen die meteen de computer inschakelen. De ander oplossingen krijg je door bovenstaand getal een aantal keren achter elkaar te zetten.