Oplossingen week 24 (12 t/m 18 juni)

Spiralen.

Maandag 12 juni:

De oppervlakte die het touw bedekt is ongeveer 600cm². De spiraal ligt bij benadering in de vorm van een cirkelschijf met als straal de afstand r tussen begin- en eindpunt van het touw. De oppervlakte van zo'n cirkel is r², dus r=(600/), ongeveer 13,82 en het (afgeronde) antwoord is dus 14cm.

Dinsdag 13 juni:

70×60×1,25 meter, dat is 5,25 kilometer.

Woensdag 14 juni:

Het beschreven deel van een CD bevindt zich op een afstand van het middelpunt die varieert tussen ongeveer 2,2 cm en ongeveer 5,7 cm. Nemen we als gemiddelde waarde 4 cm, dan is de lengte van 1 omloop gemiddeld ongeveer 2 maal zo groot, dat is ongeveer 25 cm. Bij een totale spoorlengte van 5 kilometer moeten er dus ongeveer 20000 omlopen plaatsvinden. De ruimte die daarvoor beschikbaar is, is slechts 5,7 - 2,2 = 3,5 cm, dus de spoorbreedte moet minder zijn dan 1,75 duizendste millimeter (in werkelijkheid is de spoorbreedte slechts 0,6 duizendste millimeter).

Donderdag 15 juni:

De LP maakt 1000 omlopen in 30 minuten. Het bespeelde deel ligt op een afstand van het middelpunt die varieert van 6,5 tot 14,5 cm. Bij 6,5 cm hoort een omtrek van 2×6,5 cm, ongeveer 41 cm, en bij 14,5 hoort een omtrek van ongeveer 91 cm. Nemen we als gemiddelde 66 cm, dan komen we op een totale groeflengte van 660 meter.

Vrijdag 16 juni:

Na een halve omloop: 2 maal zo groot, na een twaalde omloop ¹²2 maal zo groot. Als we de hoek die de voerstraal maakt met de horizontale richting, a noemen, dan blijkt r een exponentiele functie te zijn van a. In dit geval geldt, als we a in graden meten, r(a)=r(o)×2^a/360. Omgekeerd is a een logaritmische funktie van r, en dat verklaart waarom zelfgelijkvormige spiralen ook wel logaritmische spiralen worden genoemd.

Zaterdag 17 juni:

De tweede helft van de spiraalomloop is 1/2 maal zo groot als de eerste helft, dus als we de gevraagde lengte aL noemen, dan geldt L=aL+aL/2 en hieruit volgt dat a=2/(1+2). Het antwoord is dus L×2/(1+2).

Zondag 18 juni:

De lengte van de tweede omloop is L/2, en de totaal afgelegde afstand is dan 3L/2. De lengte van de derde omloop is L/4, en de totale lengte is dan 7L/4. De lengte van de vierde omloop is L/8, en de totale lengte is dan 15L/8. De lengte van de vijfde omloop is L/16, en de totale lengte is dan 31L/16, enzovoorts. Al deze getallen zijn kleiner dan 2L. Na n+1 omlopen bedraagt het verschil tussen 2L en de totale afgelegde afstand nog maar L/2n. Dit gaat naar 0 als n naar oneindig gaat.