Kalender 2000

Oplossingen week 21 (22 t/m 28 mei)

Kubusdoorsneden.

Maandag 22 mei:

Als ABCD.EFGH de kubus is, dan is bijvoorbeeld AFH zo'n driehoek. Het is een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte V2. De oppervlakte ervan is (1/2)3.

Dinsdag 23 mei:

Nee! Je kunt zeggen dat je dat "zo ziet", maar je kunt het ook als volgt bewijzen. Stel dat de driehoek hoekpunten P op BF, Q op GF en R op EF heeft. Als PQR stomphoekig zou zijn, bijvoorbeeld met een stompe hoek in P, dan zou volgens de cosinusregel gelden dat: QR2 = PQ2 + PR2 - 2×PQ×PR×cos(hoekP) > PQ2 + PR2 want cos(hoekP) &lgt; 0. Maar volgens Pythagoras is QR2 = QF2 + RF2 < QF2 + PF2 + RF2 + PF2 = PQ2 + PR2.

Woensdag 24 mei:

Ja, neem bijvoorbeeld HMEABMCG, waarbij MEA en MCG de middens zijn van de ribben EA resp. CG.

Donderdag 25 mei:

Elk vlak dat het bovenvlak en het het ondervlak van de kubus snijdt, snijdt deze vlakken volgens evenwijdige lijnen. Als je ervoor zorgt dat je daarbij aan één kant van een verticaal diagonaalvlak, zoals bijvoorbeeld ACGE blijft, is de snijfiguur altijd een trapezium. Je kunt het zijvlak daarbij ook zo kiezen dat het trapezium niet gelijkbenig is.

Vrijdag 26 mei:

Kies punten P op AB en Q op BC, dan geeft het vlak door P, Q en H een vijfhoek als snijfiguur. Het is moeilijker om te bewijzen dat een vijfhoekige snijfiguur nooit een regelmatige vijfhoek kan zijn. Een bewijs daarvan gaat bijvoorbeeld als volgt: Er is minstens één zijvlak van de kubus waar geen zijde van de vijfhoek op ligt, want de kubus heeft zes zijvlakken. Stel dat dit het bovenvlak is. Bekijk nu het hoekpunt van de vijfhoek dat het hoogst ligt. Dat hoekpunt, zeg P, ligt op een opstaande ribbe, bijvoorbeeld op AE. De hoek die de twee zijden van de vijhoek in P met elkaar maken, moet scherp zijn (geef hiervoor net zo'n bewijs als dinsdag), maar een regelmatige vijfhoek heeft hoeken van 108 graden, dus deze vijfhoek kan niet regelmatig zijn.

Henk Molster Heeft een ander bewijs ingestuurd:
Als een vlak een kubus doorsnijdt langs vijf vlakken, dan zijn daar minstens twee evenwijdige vlakken bij. De snijlijnen van een vlak met twee evenwijdige vlakken lopen evenwijdig. De vijfhoekige doorsnede waarvan sprake is, heeft dus minstens twee evenwijdige zijden. Een regelmatige vijfhoek heeft geen evenwijdige zijden. De doorsnede is dus zeker geen regelmatige vijfhoek.

Zaterdag 27 mei:

Nee! Een zevenhoek heeft zeven zijden, en omdat een kubus maar zes zijvlakken heeft, moet er dan minstens één zijvlak zijn waarop twee verschillende zijden van de zevenhoek liggen. Maar als een zijvlak twee zijden van de zevenhoek bevat, ligt de hele zevenhoek in dat vlak. Dat kan niet.

Zondag 28 mei:

Je kunt gemakkelijk nagaan dat die zes middens, zeg MAB, MBC, MCG, MGH, MHE, MEA, inderdaad in één vlak liggen. Ze hebben namelijk allemaal dezelfde afstand tot de twee diametrale hoekpunten D en F van de kubus. Het snijvlak is dus het middelloodvlak van de lichaamsdiagonaal van DF. Op grond van de verschillende symmetrieen van de kubus zijn verder alle zijden van zo'n zeshoek even lang, en alle hoeken even groot. Het is dus inderaad een regelmatige zeshoek. Merk ook op dat dit snijvlak de kubus verdeelt in twee congruente stukken, die dus allebei een inhoud van 1/2 hebben. De zijden van de zeshoek hebben lengte (1/2)2, en dus is de oppervlakte (3/4)3. De kubus heeft vier lichaamsdiagonalen, namelijk AG, BH, CE en DF, en er zijn dus ook vier regelmatige zeshoekdoorsnijdingen.