Oplossingen week 14 (3 t/m 9 april)

Bolstapelingen

Maandag 3 april:

De truc van Gauss gaat hier ook wel op, maar de uitvoering is wat ingewikkelder omdat het aantal termen oneven is, nl. 51.

Een andere methode berust erop dat de "partiële sommen" steeds een kwadraat zijn: 1+3=4=2², 1+3+5=9=3², enz. De gevraagde som is ((101+1)/2)²=51²=2601.

Dinsdag 4 april:

Aantal termen is (792-1)/7=113. De middelste term is (8+792)/2=400. De som is 56×800+400=45200.

Woensdag 5 april:

1, 25, 49. Een andere is 1, 145, 289. Je kunt de termen nog met een willekeurig kwadraat vermenigvuldigen.

Donderdag 6 april:

Tel vanaf een bepaalde term die deelbaar is door 7, zeven stappen verder. Je telt er dan 7v bij, als v het verschil is. Dus de term waar je dan op uitkomt, is ook deelbaar door 7. In formules: als a+nv=7k, is a+(n+7)v=7k+7v=7(k+v).

Vrijdag 7 april:

Nee; alle termen zijn geheel (omdat ze priemgetallen zijn). Neem een willekeurige term p. Volgens het resultaat van donderdag zijn er dan oneindig veel termen deelbaar door p.

Zaterdag 8 april:

Laat de gemeenschappelijke eerste term a zijn, en v en w de twee verschillen. Het gaat erom of de vergelijking a+nv=a+kw (met n en k als onbekenden) oneindig veel oplossingen heeft. Welnu, neem maar n=sw en k=sv, waarbij s=1,2,3,...

Zondag 9 april:

Laat de rij p,q,r,s,t,u zijn. We laten het flauwe geval dat alle termen gelijk zijn buiten beschouwing. Het is direkt duidelijk dat het verschil even is (dus deelbaar door 2), en de termen zelf oneven.

Als het verschil niet deelbaar is door 3, hebben p,q en r verschillende resten bij deling door 3. Dan is één van deze 3 termen dus deelbaar door 3, en (omdat hij priem is) gelijk aan 3. Dat moet dan p zijn. Maar dan is s (drie stappen verder) ook deelbaar door 3. Tegenspraak! Dus het verschil is deelbaar door 3.

Als het verschil niet deelbaar is door 5, is er een term die deelbaar is door 5, en dus gelijk aan 5. Deze term kan niet p of q of t of u zijn, want dan is er nog een term deelbaar door 5. Stel r=5. Dan is het onmogelijk om alle overige plaatsen te vullen omdat er maar één oneven priemgetal kleiner dan 5 is. Evenzo is s=5 onmogelijk. Dus het verschil is wel deelbaar door 5. Het verschil is deelbaar door 2, 3 en 5, en dus door 30.