Kalender 2000

Oplossingen week 12 (20 t/m 26 maart)

Grapefruits stapelen

Maandag 20 maart:

Leg afwisselend rijtjes van 5 en 4 grapefruits. Je kunt dan 5+4+5+4+5+4+5+4+5 = 41 grapefruits in de bak leggen. Een controleberekening leert dat er zelfs nog wat ruimte overblijft, want de breedte van die nieuwe rangschikking is slechts 5 + 8×5×(1/2)3 + 5, en dat is ongeveer 79,2820cm.

Dinsdag 21 maart:

Er passen 68 grapefruits in; Leg afwisselend rijtjes van 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8 grapefruits.

Woensdag 22 maart:

12 + 22 + ... + 82 = 204.

Donderdag 23 maart:

1+2+3+...+8 = 36. Algemeen, bij n grapefruits langs de zijden zijn het er 1+2+...+n = (1/2)n(n+1).

Vrijdag 24 maart:

A(n) = (1/3)n3 + (1/2)n2 + (1/6)n = (1/6)n(n+1)(2n+1).

Zaterdag 25 maart:

Precies 100.

Zondag 26 maart:

Als je acht lagen neemt van 82=64 grapefruits, kom je op 512 stuks. Dat kan natuurlijk beter.

Als je afwisselend lagen van 82=64 en 72=49 grapefruits stapelt, kun je 10 lagen kwijt. Dat is in totaal 565 grapefruits. Het hoogteverschil tussen twee lagen is dan namelijk 5 2cm, en bij 10 lagen krijgen we dus een totale hoogte van 5 + 9×5 2 + 5, ongeveer 73,64 cm. Helaas komen we bij 11 lagen net boven de 80 cm uit, dus meer lagen stapelen op deze wijze lukt niet. Toch houden we nog flink wat ruimte over, dus misschien geeft een andere manier van stapelen een nog beter resultaat.

Inderdaad, als we net als dinsdag beginnen met een laag van rijtjes met afwisselend 8 en 7 grapefruits, kunnen we in de onderste laag 68 grapefruits krijt. In de laag erboven leggen we 7+8+7+8+7+8+7+8+7=67 grapefruits, waarbij we de rijtjes van 7 precies boven die van 8 leggen, en omgekeerd. Zo kunnen we doorgaan. We komen dan op 9 lagen, met in totaal 68+67+68+67+68+67+68+67+68=608 grapefruits. Nog steeds kan de doos gemakkelijk dicht. Krijgt iemand er nog meer in?