Vierkant Kalender 1999
Oplossingen week 35 (30 augustus t/m 5 september)
Het bakjesprincipe (1).
- Maandag 30 augustus:
-
4 × 366 = 1464.
- Dinsdag 31 augustus:
-
3 × 8 = 24, dus "van iedere soort 8 of minder kratten" is
onmogelijk.
- Woensdag 1 september:
-
Voor iedereen geldt: zijn aantal vrienden is een getal uit de verzameling {0,
1, 2, 3, 4, 5}. Als er iemand is met 0 vrienden, kan er niet iemand zijn met 5
vrienden en omgekeerd. Dus het aantal verschillende aantallen vrienden is ten
hoogste 5.
- Donderdag 2 september:
-
Opdat iedere man recht tegenover een vrouw zit, zijn er minstens evenveel
mannen als vrouwen nodig. Tegenspraak.
- Vrijdag 3 september:
-
Onder de 103 x-coördinaten zijn er tenminste 11 die gelijke rest (bij
deling door 10) hebben, volgens het bakjesprincipe. Onder 11 zulke
x-coördinaten zijn er, ook volgens het bakjesprincipe, tenminste 2
waarvoor geldt dat de y-coördinaten gelijke rest hebben.
- Zaterdag 4 september:
-
Aangezien (2n)2 = 4n, is het voldoende (en
nodig) om te bweijzen dat er m en n bestaan zodanig dat 4m - 4n deelbaar is
door 1999. Nu is 4m - 4n = 4n(4k-1)
met k = m-n, dus die deelbaarheid moet van 4k-1 komen. Welnu, omdat
ggd(1999,4) = 1, zijn de resten (bij deling door 1999) van 4k-1 voor
k = 1, 2, ..., 1999 allemaal verschillend. Dus één van die resten
is 0.
- Zondag 5 september:
-
Volgens het bakjesprincipe zijn er twee getallen, stel A en B, waarvan het
verschil deelbaar is door 50:
A - B = 50k. Dus A - B is zeker even, en A + B dus ook, stel A + B = 2m.
A2 + B2 = (A - B)(A + B) = 50k × 2m = 100km.