Kalender 2005

Oplossingen week 38 (19 t/m 25 september)

Maandag 19 september

Alleen 2 is een even priemgetal dus is er maar één priemtweeling met verschil 1. Alleen 3 is een priemgetal deelbaar door 3. Dat betekent dat bij drie opeenvolgende oneven getallen er één niet-priemgetal (deelbaar door 3) bij zit. Dat betekent dus dat er maar twee priemdrielingen met een verschil van 3 of 4 zijn. Dat betekent ook dat er maar één priemvierling is met een verschil van minder dan 8.

Dinsdag 20 september

In een rij van vier opeenvolgende getallen komt altijd een getal deelbaar door 4 voor. Ook is er een tweede getal bij dat even is (deelbaar door 2) en een getal deelbaar 3. dus de getallen 2, 3 en 4 komen voor in het product van de vier getallen en 2*3*4=24.

Woensdag 21 september

Van de rij 1989 t/m 2005 zijn de volgende priem 1993, 1997, 1999, 2003. Dat geeft de priemtweeling (1997,1999) en de priemdrielingen (1993,1997,1999) en (1997,1999,2003), maar geen priemvierling.

Donderdag 22 september

De priemgetallen van de 21ste eeuw zijn 2003, 2011, 2017, 2019, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2089 en 2099. Daar kun je geen priemdrieling of priemvierling mee maken.

Vrijdag 23 september

p₁ + p₂ is een priemtweeling, dus van de vorm 2n+1 + 2n+3 = 4n+4 en dus deelbaar door 4.
Als p₁ van de vorm 3n+1 is, is p₂ van de vorm 3n+3, maar dit is niet priem dus is p₁ van de vorm 3n+2 en p₂ van de vorm 3n+4. Dan is p₁ + p₂ deelbaar door 3. Dus is p₁ + p₂ deelbaar door 12.

Zaterdag 24 september

Bij drie opeenvolgende even getallen is er altijd één deelbaar door 3. Daarom bestaat een priemvierling uit vijf opeenvolgende oneven getallen waarvan de middelste geschrapt is. De middelste is deelbaar door 3 omdat anders één van de vier andere deelbaar door 3 is en de middelste is ook deelbaar door 5 want minstens één van de vijf is deelbaar door 5. Dat betekent dat het gemiddelde van de vier overige getallen deelbaar is door 15. En de som is dan deelbaar door 15x4=60.

Zondag 25 september