Kalender 2000

Correcties op de kalender:

Maandag 25 december

De opgave is als volgt bedoelt:

Je hebt n punten die niet allemaal op een rechte lijn liggen. Laat met behulp van bovengenoemde stelling zien dat er (minstens) n lijnen zijn die ieder door (minstens) twee van de gegeven punten gaan.

De opgave is lastiger dan de gemiddelde maandag-opgaven!

Zondag 31 december

Hier is helaas iets misgegaan. In de huidige formulering is de oplossing triviaal. We hebben de bedoeling niet kunnen achterhalen en vervangen de opgave door de volgende:

Teken 16 punten zo, dat er een afstand is die 41 keer voorkomt.

Oplossingen week 52 (25 t/m 31 december)

Punten, lijnen en afstanden.

Maandag 25 december:

We bewijzen de bewering naar n (het aantal punten). Voor 3 punten is de bewering waar.(Uit de probleemstelling volgt dat er minstens 3 punten zijn). Nu hebben we n punten met n>3. Neem een lijn L die precies 2 punten bevat, en noem een van die punten P. Als de overige n-1 op een rechte M liggen, heb je n-1 lijnen door P waarop 2 punten liggen en ook nog de rechte M; dat zijn dus n lijnen die aan de eis voldoen. Als de overige n-1 punten niet op een rechte liggen, pas dan de inductie-aanname toe en concludeer dat er tussen die n-1 punten minstens n-1 lijnen zijn waarop minstens 2 punten liggen. Geen van deze lijnen gaat door P (ga dit na!). De lijn L kan dus als n-de lijn worden genomen.

Dinsdag 26 december:

Woensdag 27 december:

Het kleinst mogelijke aantal is 3. Er zijn minstens 2 mogelijkheden. De een bestaat uit de hoekpunten van een regelmatige zeshoek. De ander uit de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek waaraan toegevoegd: het middelpunt van die vijfhoek.

Donderdag 28 december:

Vrijdag 29 december:

Zaterdag 30 december:

Zondag 31 december:

Zie de figuur rechts. In de figuur zie je 4 keer een rood figuurtje dat uit twee gelijkzijdige driehoeken is gevormd. Deze figuurtjes zijn zo geplaatst dat overeenkomstige hoekpunten precies de afstanden hebben om de 4 zwarte figuurtjes te vormen. Zo krijg je 8×5=40 keer dezelfde afstand. Als je deze figuur van stangen maakt die in de hoekpunten kunnen scharnieren, kun je ervoor zorgen dat ook de gestippelde lijn dezelfde lengte heeft als de andere 40, terwijl alle 16 punten in het platte vlak blijven.