Kalender 2000

Oplossingen week 49 (4 t/m 10 december)

Deelbaarheid van vormen.

Maandag 4 december:

Stel de afmetingen van een vel A4 zijn a×b met a<b. Dan geldt dus a/b=(b/2)/a, oftewel 2a2=b2. Dus (a/b)=2, ofwel ongeveer 1,414.

Dinsdag 5 december:

Verdeel de zijden in k gelijke stukken en trek door die verdelende punten lijnen evenwijdig aan de zijden. Er onstaan dan k2 stukken die gelijkvormig zijn met de gegeven driehoek. Zelfs geldt: de stukken zijn even groot. De figuur geeft een voorbeeld voor k2=25.

Woensdag 6 december:

Trek uit het hoekpunt met de rechte hoek de hoogtelijn; er ontstaan 2 stukken die gelijkvormig zijn met de gegeven driehoek. Ieder stuk kan op dezelfde manier worden verdeeld; zie figuur.

Donderdag 7 december:

De snijlijn kan niet een gebogen of gebroken lijn zijn, dus alleen rechte snijlijnen komen in aanmerking. Als de snijlijn door een hoekpunt gaat ontstaan ofwel 2 rechte hoeken (bij een hooogtelijn) ofwel een stompe hoek; zie figuur. Maar dan moet de gegeven driehoek ook stomphoekig zijn, en wel met een even grote stompe hoek. Er zijn twee gevallen: de snijlijn gaat door het hoekpunt met de stompe hoek of door een van de andere hoekpunten. Beide gevallen leiden tot een tegenspraak.

Vrijdag 8 december:

Stel de rechthoek R meet a×b met a<b. Dan moet gelden a/b=(b/3)/a, 3a2=b2; b/a=3.

Zaterdag 9 december:

De figuur laat zien dat iedere rechthoek deelbaar is door 4. Als we een van de stukken weer in vieren verdelen, krijgen we 7 stukken. Met deze truc kunnen we de getallen 7, 10, 13, 16, 19, .... maken. De volgende figuur levert de deelbaarheid door 6; hij is onstaan door in de verdeling van 3x3 een paar lijnen weg te vegen. Met onze vorige truc maken we nu de getallen 6, 9, 12, 15, 18, ... Voor het getal 8 gaan we uit van een verdeling in 4x4, en daar vervangen we een hoek van 3x3 door e'e'n grotere rechthoek. Vanuit 8 kunnen we dan 11, 14, 17, 20, .... maken.

Zondag 10 december:

De tekening geeft een verdeling in 3 rechthoeken die er kansrijk uitziet. Stel PQ=1 en PR=a. (We moeten laten zien dat a=(1+5)/2). Wil de linker rechthoek gelijkvormig zijn met de hele rechthoek, dan moet gelden: PS=1/a. Verder: TU=a-1/a; UV=a2-1; VR=1-(a2-1)=2-a2; SR=2a-a3. Omdat PS+SR=PR, voldoet a aan 1/a+2a-a3=a. Dit is te herleiden tot a4-a2-1=0, een vierkantsvegelijking in a2. We hoeven hem niet eens op lossen: het is voldoende om te laten zien dat a2=(1+5)/2 er aan voldoet.