Kalender 2000

Oplossingen week 42 (16 t/m 22 oktober)

Curvilineaire gebieden

Maandag 16 oktober:

Als de kleine cirkel straal r heeft, is de straal van de grote cirkel r2. De oppervlakte van de ring is dus (r2)2 - r2 = r2

Dinsdag 17 oktober:

We snijden de figuur in 3 stukken. Hiervan kun je een rechthoek leggen. Als we de straal van de cirkelbogen op r stellen, is de oppervlakte van de rechthoek (en dus van de lotusvorm) 2r2 (met dank aan Sietze Haarsma voor het herkennen van de fout die erin zat).

Woensdag 18 oktober:

Laat de straal van de cirkelbogen weer r zijn. Teken een vierkant om de bloen. Stel ieder blaadje heeft een oppervlakte x en de vier overige stukken y. Dan is 4x + 4y = 4r2 en 2x+y = (r2)/2. Los hieruit x en y op: x = ((/2)-1)2, y = (2-(/2))r2. De oppervlakte van de bloem is 4x, dus (2 - 4)r2.

Donderdag 19 oktober:

We laten de grijze cirkelschijf doorzichtig worden en we maken de cirkelbogen af. Dan krijgen we de figuur die je links ziet. Nu kun je snel inzien (ook door gebruik te maken van het resultaat van woensdag) dat de gevraagde oppervlakte gelijk is aan 4r2 - (2-4)r2 - r2 = (+4)r2

Vrijdag 20 oktober:

Laat de zijde van het vierkant 2 zijn. Dan is de oppervlakte c=4. Verder geldt (zie figuur): 4b+c = (2)2 = 2 en a+b = /2. Dus b = (2-4)/4 = /2-1 en a = /2 - (/2 - 1) = 1. De oppervlakte van de vier maantjes is dus (ook) 4.

Zaterdag 21 oktober:

Laat de straal van de kleine cirkels 1 zijn. Uit het gegeven over het vierkant volgt dan dat de straal van de grote cirkels 2 is. Nu gledt: AG = AC+CG = 2 + 22, dus AD = 1 + 2, en omdat AB = 2, geldt BD = 1. Omdat BH = 2, vinden we (Pythagoras!) HD = 1. De oppervlakte van de schijf HDJE is nu: opp. sector HBJE - opp. driehoek HBJ = (2)2/4 - BD × HD = /2 - 1, dus de oppervlakte van de lensvormige HCJE is -2. De oppervlakte van de grijze(?) stukken is dus 3-2.

Zondag 22 oktober:

Laat de kleine cirkelbogen straal 1 hebben en de grote cirkelbogen straal 2. Dan is de oppervlakte van het donkere stuk samen met één van de lichtgrijze stukken gelijk aan 4/2 = 2. De rechterhelft van het donkere stuk is: kwartcirkel ABC - driehoek ABC; de oppervlakte hiervan is dus 4/4 - 22/2 = - 2.
Conclusie: de lichtgrijze stukken hebben ieder een oppervlakte 2=2(-2)=4, het donkere stuk heeft oppervlakte 2-4.