Antwoorden week 28 (10 t/m 16 juli)

Pentagram en Gulden Snede.

Maandag 10 juli:

Alle hoeken zijn 36 graden of veelvouden daarvan. De hoeken van de vijfhoeken zijn 3×36 = 108 graden, de punthoeken van het pentagram zijn 36 graden, en de basishoeken gelijkbenige driehoeken die de punten vormen van het pentagram zijn 2×36 = 72 graden. En de lichtgrijze gelijkbenige driehoeken, ten slotte, hebben ook weer basishoeken van 36 graden.

Dinsdag 11 juli:

PC = PD = QD = ... = tau, want de driehoek DPQ is gelijkvormig met driehoek DAB. Omdat hoek CQD = hoek CDQ, is driehoek CDQ gelijkbenig, dus CD = CP+CQ = tau+1.

Woensdag 12 juli:

Driehoek CDQ is gelijkvormig met driehoek DPQ, dus CD/DP = DQ/PQ, CD = (DP×CQ)/PQ = (tau×tau)/1 = (tau)². Conclusie: tau+1 = (tau)². De positieve oplossing van deze vergelijking is inderdaad (1+5)/2.

Donderdag 13 juli:

Die andere wortel is rho=(1-5)/2. Merk op dat tau×rho = -1, en dus is rho de 'omgekeerde' gulden-snede voorzien van een minteken.

Vrijdag 14 juli:

Als de grote rechthoek zijden heeft van (tau)² en tau, heeft de kleinere rechthoek zijden van tau en (tau)²-tau = 1

Zaterdag 15 juli:

In driehoek ABC zie je dat alpha + beta = 90 graden, en bij hoek B zie je dat beta + 2×gamma = 90 graden. Dus alpha = 2×gamma. Omdat tan(gamma) = 1/tau (zie driehoek BCD) vinden we nu tan(2×gamma) = 2tan(gamma)/(1-tan²(gamma)), en dit is te herleiden tot 2.

Zondag 16 juli:

Laat M het middelpunt van de cirkel zijn en r zijn straal. Pas nu in driehoek AMC de cosinusregel toe. Als we AC=x noemen, vinden we dan de vierkantsvergelijking x²-(rx3)/2 + (3r²)/4 = 0, met de oplossing x = (r/4)(3+15). Met AB=(r3)/2 vinden we dan BC=r(15-3)/4, en tenslotte AB/BC = tau.