Oplossingen week 23 (5 t/m 11 juni)

Pariteit.

Maandag 5 juni:

Iedere dominosteen bedekt 1 wit veld en 1 zwart veld. De velden c2 en d5 zijn beide wit. Na 30 dominostenen (als dat al lukt!) zijn er dus 2 zwarte velden over.

Dinsdag 6 juni:

De som van de getallen is 55. Steeds als je een plusteken in een minteken verandert, wordt de som met een even getal verminderd. Je kunt dus niet op 0 uitkomen.

Woensdag 7 juni:

Stel je hebt een oplossing. Als je nu alle breuken onder de noemer abcd brengt, dan is die noemer oneven, maar de teller is de som van 4 oneven getallen, en dus even.

Donderdag 8 juni:

Als je een getal na een aantal verwisselingen weer op z'n plaats staat, is dat getal bij een even aantal verwisselingen betrokken. Dit geldt voor ieder getal.

Vrijdag 9 juni:

Nummer de plaatsen 1, 2, ..., 18 (rondlopend). Van de 9 plaatsen met een even nummer kunnen er ten hoogste 4 door jongens bezet worden, want als je op die plaatsen 5 jongens neerzet, zijn er twee met een (oneven) plaats ertussen. Evenzo kunnen er maar 4 jongens op de oveven genummerde plaatsen.

Zaterdag 10 juni:

Neem een willekeurige stelling van 8 torens op een schaakbord die elkaar niet aanvallen. Stel de toren in kolom i staat in rij r_i. Dan is r₁, r₂, ..., r₈ een permutatie van 1, 2, ..., 8. Nu geldt: de toren in kolom i staat op een zwart veld dan en alleen dan als r_i-i even is (eventueel < 0). Verder geldt: de som van alle r_i-i=0 (omdat de r_i'2 een permutatie van 1,2,...,8 vormen) en 0 is een even getal.
Als de som van 8 getallen even is, moet het aantal even getallen onder die 8 ook even zijn. Dat aantal kan dus niet 3 zijn.

Zondag 11 juni:

Noem het traject dat de slak in ieder uur aflegt een stap. De stappen 1 en 2 bepalen nu een zeshoekig rooster. De slak beweegt uitsluitend langs de lijnen van het rooster, en hij is na steeds één stap in een hoekpunt. Kleur nu de hoekpunten om en om rood en blauw, het startpunt blauw. Na een oveven aantal stappen (bijvoorbeeld na 15×0,5=7,5 uur) is de slak dan in een rood punt, dus zeker niet in het startpunt.