Kalender 2000

Oplossingen week 16 (17 t/m 23 april)

Stenen op een schaakbord.

 

Maandag 17 april:

Een vierkant van 2 bij 2 kun je op een schaakbord op 7×7 manieren neerleggen. In zo'n vierkant past de L-tromino op 4 manieren. Antwoord: 7×7×4=196.

Dinsdag 18 april:

Zelfde methode: eerst rechthoek van 2×3, dat kan op 6×7 manieren horizontaal, en evenveel verticaal. De T-tromino past er op 2 manieren in. Antwoord: 7×6×2×2=168.

Woensdag 19 april:

77×6×2×4=336.

Donderdag 20 april:

Eerst de domino: 8×7×2=112 manieren. Er zijn nog 62 velden over voor de monomino. Antwoord: 112×62=6944.

Vrijdag 21 april:

A: beide horizontaal.
A1: in dezelfde rij. 15 manieren per rij, dus 8×15=120 manieren.
A2: in verschillende rijen. 28 manieren om de rijen te kiezen, dus 28×7×7=1372.
Totaal voor geval A: 120+1372=1492. B: beide domino's verticaal: ook 1492.
C: één horizontaal, één verticaal.
C1: leg eerst de verticale neer in kolom a of h: 2×7 manieren. Nu zijn er voor de horizontale 2×6+6×7=54 manieren. Totaal voor C1: 2×7×54=756.
C2: leg de verticale in een andere kolom : 6×7 manieren. Dan de horizontale: 2×5+6×7=52. Totaal voor C2: 6×7×52=2184.
Totaal voor geval C: 756+2184=2940.
totaal voor A, B en C: 2x1492+2940=5924.

Zaterdag 22 april:

A: beide stenen horizontaal.
A1: in dezelfde rij: 20×8=160.
A2: in verschillende rijen: 8×7×7×6=2352.
Totaal voor geval A: 160+2352=2512.
B: beide stenen verticaal: ook 2512.
C: domino horizontaal, 1×3 verticaal.
C1: 1×3 in kolom a of h: 2×6×(3×6+5×7)=636.
C2: 1×3 in andere kolom: 6×6×(3×5+5×7)=1800.
Totaal voor geval C: 636+1800=2436.
D: domino verticaal, 1×l;3 horizontaal: ook 2436.
Antwoord: 2x2512+2x2436=9896.

Zondag 23 april:

De L-tromino, ofwel L3, past precies in een vierkantje van 2x2. Als je 2 L3's neerlegt, kunnen die vierkantjes al of niet overlappen. A: wel overlap. Er zijn 4 mogelijkheden: A1, A2, A3 en A4:
A1: 7×6×2 manieren om de rechthoek van 2×3 te plaatsen; 2 manieren om hem in twee L3's te verdelen: 168.
A2: 6×6 manieren om het vierkant van 3×3 te plaatsen; 4 manieren om de L3's er in te leggen: 144.
A3: weer 6×6 manieren om het vierkant te plaatsen; 8 manieren om de L3's er in te leggen: 288.
A4: weer 6×6 manieren om het vierkant van 3×3 te plaatsen; 2 manieren om de L3's erin te leggen: 72.
Totaal voor geval A: 168+144+288+72=672.
B: geen overlap. Nu kunnen we gewoon twee vierkantjes (van 2×2) neerleggen. Voor het middelpunt van een vierkantje zijn er 7×7=49 mogelijkheden. Voor twee vierkantjes in eerste instantie 49×48/2=1176 manieren. Maar om overlap te vermijden mag de afstand van de middelpunten niet kleiner dan 2 zijn. Onder de 49 middelpunten zijn er 7×6×2+6×6×2 paren die om deze reden vervallen. Nu zijn we nog vergeten, dat in elk van deze vierkantjes op 4 manieren een L-tetromino past, dus totaal geval B: (1176-7×6×2-6×6×2) × 4×4 = 16320.
Antwoord: (A+B) 16992.