Oplossingen week 7 (14 t/m 20 februari)

Geen kwadraat

Maandag 14 februari:

Het getal is van de vorm (m-1)×(m+1) = M²-1.

Dinsdag 15 februari:

Het cijfer van de eenheden is 1+6+1 = 8.

Woensdag 16 februari:

1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33. Voor m groter of gelijk aan 5 is m! deelbaar door 10, dus bij toevoeging van verdere terman blijft het eindcijfer gelijk aan 3.

Donderdag 17 februari:

In 100! zit de priemfactor 97 precies eenmaal, terwijl in ieder kwadraat de priemfactoren een even aantal voorkomen.

Vrijdag 18 februari:

Het getal is van de vorm (a-3)² + (a-1)² + (a+1)² + (a+3)², met a=104. Na herleiding zien we dat dit gelijk is aan 4(a²+5). Dit zou alleen een kwadraat kunnen zijn als a²+5 het is, maar dat is het niet.

Zaterdag 19 februari:

De som van twee oneven kwadraten is altijd een 4-voud+2, en dat kan geen kwadraat zijn. (Het kwadraat van een even getal is een 4-voud, het kwadraat van een oneven getal is een 4-voud+1.)

Zondag 20 februari:

Als a² op 6 eindigt, eindigt a op 4 of 6. Dus a=10v+4 of a=10v-4 voor zekere v. Maar dan geldt a² = 100v² + 80v + 16 of a² = 100v² - 80v + 16. Voor het cijfer van de tientallen kunnen we 100v² "verwaarlozen", evenals de 6, dus we houden 80v+10 of -80v+10 over. Wat v ook is, het cijfer van de tientallen moet oneven zijn.