Vierkant Kalender 1999
Oplossingen week 50 (13 t/m 19 december)
- Maandag 13 december:
-
Als je 12, 13 en 14 optelt, heb je ieder van de drie onbekende getallen
tweemaal geteld. De som van de drie onbekende getallen is dus (12 + 13 + 14)/2
= 191/2. De getallen zijn dus 51/2,
61/2 en 71/2.
- Dinsdag 14 december:
-
In de dubbelsommen wordt ieder getal steeds gecombineerd met de 9 andere
getallen. Dus ieder getal komt 9 keer voor in de dubbelsommen. Daardoor wordt
de som van de dubbelsommen 9 keer zo groot als de som van de startgetallen. Als
je begint met 25 getallen, is de som van de dubbelsommen 24 keer zo groot als
de som van de startgetallen.
- Woensdag 15 december:
-
Noem de vijf getallen a, b, c, d, e met a < b < c < d < e en met de
som S1. De som S2 van dubbelsommen is 72, dus S1 = 72/4 = 18. a + b = 0 en
d + e = 15, dus c = 3. a + c = 2, dus a = -1, b = 1. c + e = 13, dus e = 10,
d = 5.
- Donderdag 16 december:
-
Merk op dat bij de oplossing van het probleem van woensdag alleen de volgende
gegevens zijn gebruikt.
- de som S2 = 72
- de eerste getallen zijn 0 en 2
- 3e de laatste getallen zijn 13 en 14.
De dubbelsommen van vandaag hebben deze eigenschappen ook, en leiden dus tot
dezelfde startgetallen! Dus e'e'n van de twee rijen dubbelsommen leidt tot een
tegenspraak. Bij de rij van woensdag klopt alles (ga dit nog even na), dus de
rij van vandaag kan niet voorkomen.
- Vrijdag 17 december:
-
De twee mogelijke rijen zijn 0, 3, 7, 8 en 1, 2, 6, 9.
- Zaterdag 18 december:
-
Noem de vijf getal
len a, b, c, d, e met a<b<c<d<e. (De dubbelsommen zijn
verschillend, dus de startgetallen ook). a+b=7, a+c=10, c+e=24. Merk op dat
c-b=3. Andere getallenparen met verschil 3 zijn (12,15), (17,20), (21,24). Een
van deze drie is het paar (b+d,c+d), maar (21,24) is het niet want c+e=24. Ook
(12,15) kan niet want b+d>b+c en b+d>a+d, dus 12 is te klein voor b+d.
Dus b+d=17, c+d=20. Het verschil tussen c+e en c+d is 4; dus e-d=4. (16,12) is
het enige overgebleven paar met verschil 4, dus a+e=16, a+d=12. Dan blijft over
b+c=15, b+e=21. Nu hebben we wel genoeg vergelijkingen! De vijf gevraagde
getallen zijn 1, 6, 9, 11, 15.
- Zondag 19 december:
-
Noem de zes getallen a, b, c, d, e, f met a<b<c<d<e<f. (We nemen
voor het gemak aan dat ze verschillend zijn; dat speelt verder geen rol). De
som S1 is 1/5 van de som van de dubbelsommen. De waarden van a+b, a+c, d+f en
e+f zijn direkt te bepalen. Daarna ook c+d = S1 - (a+b) - (e+f), en met deze
truc ook b+e, a+f, c+d, b+d en c+e. Er zijn nu 6 getallen over. De 3 kleinste
hiervan zijn (in een of andere volgorde) gelijk aan b+c, a+d en a+e; de andere
3 aan b+f, c+f en d+e. De som van deze drietallen is respectievelijk 2a+b+c+d+e
en b+c+d+e+2f, zodat het verschil 2(f-a) is. Omdat ook a+f bekend is, kunnen nu
alle getallen worden berekend.