Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 49 (6 t/m 12 december)

Punten kleuren.

Maandag 6 december:

Teken een cirkel met straal 1 en een rood middelpunt. Als op de omtrek een rood punt ligt, zijn we al klaar. Als alle punten op de omtrek blauw zijn, zijn er (heel veel) blauwe puntenparen met onderlinge afstand 1.

Dinsdag 7 december:
Neem 2 punten A en B van gelijke kleur, zeg rood. Teken de cirkel waarvan AB een middellijn is. Als binnen die cirkel een rood punt ligt, zijn we klaar. Als alle punten binnen de cirkel blauw zijn, ook!
Woensdag 8 december:
Neem een willekeurige lijn en daarop 2 punten van dezelfde kleur, zeg rood. Calibreer de as en noem die 2 punten 1 en 2. Als 0 rood is, neem dan A=0, B=1 en C=2. Als 0 blauw is en 3 is rood, neem dan A=1, B=2 en C=3. Als 0 en 3 beide blauw zijn, kijk dan naar het punt 3/2.
Donderdag 9 december:
Neem een willekeurige lijn L. Op L liggen zeker 5 punten A, B, C, D, E van dezelfde kleur, zeg rood. Trek door A, B, C, D, E lijnen loodrecht op L en teken ook 2 lijnen evenwijdig aan L. Dit geeft 10 snijpunten verdeeld over 5 puntenparen. Voor de kleuren van die paren zijn steeds 4 mogelijkheden: (rood,rood), (rood,blauw), (blauw,rood), (blauw, blauw). Omdat er 5 puntenparen zijn, moet er een kleurenpaar (minstens) 2 maal voorkomen. En dan hebben we een rechthoek met alle punten van dezelfde kleur.
Vrijdag 10 december:
Laat R1 en R2 twee punten zijn van dezelfde kleur, zeg rood. We onderzoeken nu een paar punten in het driehoeksrooster; zie de figuur. Als B3 of B4 rood is, zijn we klaar; stel dus die zijn blauw. Als nu R5 of R6 blauw is, hebben we een gelijkzijdige driehoek met blauwe hoekpunten. Stel dus R5 en R6 zijn rood. Om een rode driehoek te vermijden, moeten B7 en B8 blauw zijn. Maar dan is B4B7B8 blauw!
Zaterdag 11 december:
Als we willen vermijden dat er twee punten van dezelfde kleur op afstand 1 liggen, dan moetende hoekpunten van iedere gelijkzijdige drie hoek met zijdelengte 1 verschillende kleuren hebben. Maar dat betekent (zie figuur) dat P en Q dezelfde kleur (zeg rood) hebben. Als we nu punt Q om P laten draaien, krijgen we een cirkel om P die helemaal rood is! En dan zijn er dus toch gelijk-gekleurde punten op afstand 1!
Zondag 12 december:
Zie de oplossing van donderdag. Nu zijn er echter 9 mogelijkheden: (r,r), (r,b), (r,g), (b,r), (b,b), (b,g), (g,r), (g,b) & (g,g). Er zijn daarom 10 puntenparen nodig, zodat er minstens twee puntenparen tussen zitten die hetzelfde zijn.