Vierkant Kalender 1999
Oplossingen week 36 (6 t/m 12 september)
Het Bakjesprincipe (2).
- Maandag 6 september:
-
Verdeel het vierkant in vier vierkanten met zijde 1/2. Dan is er een klein
vierkant waarin minstens 2 punten liggen. Punten binnen de kleine vierkanten
hebben afstand
(1/2)×2.
- Dinsdag 7 september:
-
Verdeel het vierkant in 50 rechthoekjes van 1/10 bij 1/5. Volgens het
bakjesprincipe is er dan zo'n rechthoekje dat tenminste 3 punten bevat. De
driehoek gevormd door 3 zulke punten heeft een oppervlakte die ten hoogste de
helft is van (1/10) x (1/5).
- Woensdag 8 september:
-
De verzameling roosterpunten is op te delen in vier klassen:
- beide coördinaten even,
- beide coördinaten oneven,
- de eerste coördinaat even, de tweede oneven,
- de eerste coördinaat oneven, de tweede even.
Twee van de vijf hoekpunten van de vijfhoek vallen in dezelfde klasse. Het
middelpunt M van het lijnstuk met die twee hoekpunten als eindpunten is weer
een roosterpunt. Omdat alle binnenhoeken van de vijfhoek kleiner zijn dan 180
graden, ligt M binnen of op de vijfhoek.
- Donderdag 9 september:
-
Gebruik de aanpak van woensdag. Nu vallen er drie hoekpunten P, Q en R in
dezelfde klasse. De drie middens van de zijden van de driehoek PQR zijn
roosterpunten en liggen op of binnen de negenhoek.
- Vrijdag 10 september:
-
De roosterpunten hebben nu 3 coördinaten. Als we letten op het even of
oneven zijn van die coördinaten, zijn er 2×2×2 = 8 klassen.
Er zijn dus minstens 2 punten in dezelfde klasse. Enzovoort!
- Zaterdag 11 september:
-
Laat P één van de 25 punten zijn. Trek een cirkel C1
met straal 1 en middelpunt P. Als alle overige 24 punten binnen C1
liggen, dan zijn we klaar. Stel dat Q (één van de overige 24
punten) op of buiten C1 ligt. Trek de cirkel C2 met
straal 1 en middelpunt Q. Onder de resterende 23 punten kan geen punt R
bestaan, dat noch binnen C1, noch binnen C2 valt; immers
onder de drie punten P, Q en R zouden er dan geen twee voorkomen waarvan de
onderlinge afstand kleiner is dan 1. Dus elk van de 23 punten valt binnen
C1 of C2. Uit het bakjesprincipe volgt dat C1
of C2 minstens 12 + 1 = 13 punten bevat.
- Zondag 12 september:
-
Stel dat er 124 vierkantjes van 1 bij 1 uit het vel V van 29 bij 29 geknipt
zijn. Wordt van V in gedachten aan alle vier zijden een strook van 0,5
weggehaald, dan resteert een vel W van 28 bij 28. Laat Ci de
cirkelschijf zijn met middelpunt Mi en straal
2 (1 i
124). Deze cirkelschijven, die mogelijk
gedeeltelijk buiten V vallen, kunnen W niet volledig overdekken, immers de
totale oppervlakte van de schijven is gelijk aan 124 ×
× 22 = 248 ×
= 770,1... < opp(W) = 784. Er is daarom een punt
P van W zo dat de afstand van P tot elk van de punten M1,
M2, ...., M124 groter is dan
2. In de cirkelschijf met middelpunt P en straal
(1/2)×2 is een vierkant te tekenen met
zijde 1, waarvan de zijden evenwijdig zijn met de randen van V. Dit vierkant
ligt binnen V en volledig buiten de 124 andere vierkanten, waarmee het
gewenste resultaat bewezen is.