Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 35 (30 augustus t/m 5 september)

Het bakjesprincipe (1).

Maandag 30 augustus:

4 × 366 = 1464.

Dinsdag 31 augustus:

3 × 8 = 24, dus "van iedere soort 8 of minder kratten" is onmogelijk.

Woensdag 1 september:

Voor iedereen geldt: zijn aantal vrienden is een getal uit de verzameling {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Als er iemand is met 0 vrienden, kan er niet iemand zijn met 5 vrienden en omgekeerd. Dus het aantal verschillende aantallen vrienden is ten hoogste 5.

Donderdag 2 september:

Opdat iedere man recht tegenover een vrouw zit, zijn er minstens evenveel mannen als vrouwen nodig. Tegenspraak.

Vrijdag 3 september:

Onder de 103 x-coördinaten zijn er tenminste 11 die gelijke rest (bij deling door 10) hebben, volgens het bakjesprincipe. Onder 11 zulke x-coördinaten zijn er, ook volgens het bakjesprincipe, tenminste 2 waarvoor geldt dat de y-coördinaten gelijke rest hebben.

Zaterdag 4 september:

Aangezien (2ⁿ)² = 4ⁿ, is het voldoende (en nodig) om te bweijzen dat er m en n bestaan zodanig dat 4m - 4n deelbaar is door 1999. Nu is 4^m - 4ⁿ = 4ⁿ(4^k-1) met k = m-n, dus die deelbaarheid moet van 4^k-1 komen. Welnu, omdat ggd(1999,4) = 1, zijn de resten (bij deling door 1999) van 4^k-1 voor k = 1, 2, ..., 1999 allemaal verschillend. Dus één van die resten is 0.

Zondag 5 september:

Volgens het bakjesprincipe zijn er twee getallen, stel A en B, waarvan het verschil deelbaar is door 50:
A - B = 50k. Dus A - B is zeker even, en A + B dus ook, stel A + B = 2m. A² + B² = (A - B)(A + B) = 50k × 2m = 100km.