Vierkant Kalender 1999
Oplossingen week 33 (16 t/m 22 augustus)
Cirkels en roosterpunten.
- Maandag 16 augustus:
-
Neem straal = 13.
- Dinsdag 17 augustus:
-
Neem straal = 65 (65 = 82 +
12 = 72 + 42).
- Woensdag 18 augustus:
-
Dat is onmogelijk.
- Donderdag 19 augustus:
-
Bijvoorbeeld de cirkels door (0,0), (2,1) en (2,-1).
- Vrijdag 20 augustus:
-
Stel het roosterpunt (x,y) ligt op de cirkel. Dan is x2 +
y2 = n. Maar de som van 2 kwadraten kan niet een 4-voud + 3 zijn.
- Zaterdag 21 augustus:
-
Neem uit het gegeven 13-tal twee punten P en Q, zo dat de overige 11 aan
één kant van de lijn door P en Q liggen. Nu zijn er cirkels door
P en Q waarbinnen geen punten van het 13-tal liggen, en ook cirkels door P en Q
waarbinnen alle 11 overige punten liggen. Bekijk nu de 11 door P, Q en een
overig punt, en laat het aantal punten steeds met 1 toenemen.
- Zondag 22 augustus:
-
Hulpstelling: De cirkels met middelpunt
(,2) hebben op hun omtrek
ten hoogste 1 roosterpunt.
Bewijs: Stel op zo'n cirkel liggen de roosterpunten (m,n) en (M,N). Dan geldt
(m-)2 + (n-2)2 =
(M-)2 + (N-2)2. Dit is om
te werken tot (*) (M-m)(M+m-2) =
(n-N)(n+N-22). We onderscheiden twee gevallen:
- Als n=N, is het rechterlid 0, dus het linkerlid ook. Dus M=m of
M+m-2 = 0. Het eerste betekent dat (m,n) en (M,N)
samenvallen, het tweede is onmogelijk.
- Als n niet gelijk is aan N, Kunnen we (*) als volgt schrijven:
(M-m) / (n-N) = (n+N-22) /
(M+m-2). Nu staat links een rationaal getal (een
breuk) maar het rechterlid is voor geen enkel 4-tal m, n, M, N rationaal.
Cirkels met middelpunt
(,2) (of een ander
"onregelmatig" middelpunt) hebben dus of 0 of 1 roosterpunt op de omtrek. Stel
de stralen waarvoor dat aantal roosterpunten 1 is, zijn r1 < r2 < r3 <
..... Neem nu de cirkels met stralen (r1+r2)/2, (r2+r3)/2, (r3+r4)/2, ... Het
aantal roosterpunten binnen deze cirkels neemt steeds met 1 toe!