Vierkant Kalender 1999

Oplossingen week 19 (10 t/m 16 mei)

Priemgetallen

Maandag 10 mei:

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139 & 149.

Dinsdag 11 mei:

Ja: als a = b + 1, dan a² - b² = 2b + 1.

Woensdag 12 mei:

909526.

Donderdag 13 mei:

Als n = pq met p en q > 1, dan is 2n - 1 deelbaar door 2p - 1.
We kunnen dit als volgt aantonen. Door uitschrijven zie je dat (x - 1)(x^m-1 + x^m-2 + ... + 1) = x^m - 1. Dus x^m - 1 is deelbaar door x - 1. Neem nu x = 2^p en x^m = 2^pq (dus m = q ). Dan staat er: 2^pq - 1 is deelbaar door 2^p - 1.

Vrijdag 14 mei:

11 ( 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 x 89).

Zaterdag 15 mei:

Stel n/d is deelbaar, bijvoorbeeld n/d = pq. Dan is n = dpq < d³, dus pq < d². Maar dan moet p of q kleiner dan d zijn. Dan zou n een deler (en dus een priemdeler) kleiner dan d hebben. Tegenspraak (d was de kleinste).

Zondag 16 mei:

Stel n bevat een oneven factor. Dan is n te schrijven als mq waarbij q oneven is (en > 1). Dan is 2ⁿ + 1 deelbaar door 2^m + 1, immers: (2^m + 1)(2^n-m - 2^n-2m + 2^n-3m - ... - 2^m + 1) = 2ⁿ +1.
Dit is door uitschrijven eenvoudig te zien.

NB: in de tweede factor van het linkerlid zie je afwisselend plus- en mintekens. De bedoeling is dat de laatste term (de 1) een plusteken krijgt, anders klopt er iets niet. Welnu, daar gebruiken we dat q oneven is.