Vierkant Kalender 1999

Aanvulling kalender

De formule bij 11 april klopt niet. De juiste formule is (n+1)(n²-n+6)/6.

Oplossingen week 14 (5 t/m 11 april)

Pizza's,het vlak en de ruimte.

Maandag 5 april:

2⁵=32.

Dinsdag 6 april:

Woensdag 7 april:

We bepalen het aantal stukken voor de mogelijke posities van 3 lijnen.

1. 3 evenwijdige lijnen: 4 stukken.
2. 2 evenwijdige lijnen en een derde die de andere snijdt: 6.
3. 3 lijnen door 1 punt: 6.
4. 3 lijnen in "willekeurige" ligging: 7.

Donderdag 8 april:

11

Vrijdag 9 april:

15

Zaterdag 10 april:

5,8,9,10,11 zijn mogelijk; andere aantalen niet.

Zondag 11 april:

Eerst zoeken we een formule voor het platte vlak. Zonder verdelende lijnen bestaat het uit 1 stuk. De eerste lijn voegt daar 1 stuk aan toe. De tweede lijn tekenen we zo dat hij de eerste snijdt, en er komen 2 stukken bij. De derde lijn snijdt de eerste twee, en er komen 3 stukken bij. Enzovoort. Bij de n^e lijn komen er n stukken bij. In totaal hebben we dus 1 + (1 + 2 + 3 + ... + n) stukken, en dat is ook te schrijven als (n^2+n+2)/2.

Nu gaan we de ruimte in. We beginnen weer met 1 stuk (de hele ruimte). Het eerste vlak voegt er 1 stuk aan toe. Het tweede vlak 2 stukken en het derde vlak 4 stukken. Om nu te zien hoe het verder gaat, moeten we ons realiseren dat ieder nieuw vlak de vorige vlakken snijdt volgens een lijnenpatroon dat bij het vlakke probleem optreedt. Bij het n^e vlak komen er dus ((n-1)²2 + n - 1 + 2)/2 stukken bij, dus (n² - n + 2)/2 stukken. In totaal vinden we dus voor het maximaal mogelijke aantal stukken: A_n = 1 + (1 + 2 + 4 + 7 + ... + (n² - n + 2)/2). Om te zien dat A_n gelijk is aan A_n = ((n + 1)(n² - n + 6))/6, bepalen we A_n-A_n-1.

A_n - A_n-1 = ((n + 1)(n² - n + 6))/6 - (n ( (n - 1)2 - (n - 1) + 6))/6 = (n3 + 5n + 6 - n(n² - 3n + 8))/6 = (3n² - 3n + 6)/6 = (n² - n + 2)/2 = A_n - A_n-1, zoals we hebben gezien. Tenslotte moeten we nog laten zien dat de formules voor A_n en A_n hetzelfde resultaat geven als we n = 1 invullen. Ook dat klopt.

Zondag 11 april Eervolle vermelding

prof. dr. G.W.M. Kallenberg leverde ons een andere oplossing voor het probleem van zondag, en wel een die makkelijk generaliseerd naar n dimensies:

Bekijk eerst n lijnen in willekeurige ligging in het vlak. Voeg hier aan toe een hulplijn om het tellen te vergemakkelijken, ook weer in willekeurige ligging. Deze hulplijn snijdt ieder van de n lijnen en deze n snijpunten geven een verdeling van de hulplijn in n+1 stukken. Bij ieder van deze n+1 stukken hoort een vlakdeel.

Vervolgens gaan we de nog niet getelde vlakdelen opsporen. Daartoe gaan we alle snijpunten van de n lijnen langs. Ieder snijpunt wordt door een lijnenpaar bepaald. Bekijk zo'n lijnenpaar en de hulplijn. Het lijnenpaar deelt het vlak in 4 stukken. Door 1 van de 4 stukken gaat de hulplijn niet. Zo levert elk lijnenpaar 1 nog niet geteld stuk op. Het aantal nog niet getelde stukken is dus gelijk aan het aantal lijnenparen dat we kunnen vormen uit n lijnen, oftewel .

Schrijven we de eerder genoemde n+1 als , dan krijgen we dus voor het aantal delen in het vlak: .

De redenering in de ruimte verloopt volstrekt analoog met als antwoord . Voor de goede orde is hier de toelichting.

Bekijk n vlakken en een hulpvlak in willekeurige ligging. Het hulpvlak doorsnijdt de n vlakken en deze n snijlijnen verdelen het hulpvlak in delen (zie dimensie 2). Bij ieder vlakdeel in het hulpvlak hoort een ruimtedeel. Bekijk de nog niet getelde delen door de snijpunten langs te gaan. Een snijpunt wordt bepaald door 3 vlakken. Van de 2³ = 8 delen waarin de 3 vlakken de ruimte opdelen zijn er = 7 reeds geteld en dus opnieuw 1 niet. Het aantal nog niet getelde ruimtedelen is dus gelijk aan het aantal snijpunten, d.w.z. gelijk aan , waarmee het totaal komt op .

Dit lijkt mij een betere formulering van het antwoord dan het niet inzichtelijke (n+1)(n²-n+6)/6, zoals naar mijn idee ook te prefereren valt boven (n² + n + 2)/2 of 1 + (1 + 2 + 3 + ... + n).

De generalisatie naar dimensie k is en laat zich op dezelfde manier bewijzen.