34=3×33=81; dat eindigt op 1, dus ook
39996 eindigt op 1 (omdat 9996 een 4-voud is). 39999 is
nog 27 maal zo groot, en dus eindigt 39999 op een 7.
Dinsdag 9 maart:
32>23, dus 3200>2300.
Wornsdag 10 maart:
2100+3100 < 2×3100 =
54×397 < 64×497 = 4100.
Donderdag 11 maart:
We maken gebruik van de volgende eigenschap: als n oneven is, is
an + bn deelbaar door a + b. (Dit is op allerlei
manieren na te gaan, bijvoorbeeld door
(a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 -
... + bn-1) uit te werken tot an + bn)
Pas nu deze eigenschap toe met a = 23, b = 33, n = 333:
2999 + 3999 =
(23)333 + (33)333 =
8333 + 27333.
Vrijdag 12 maart:
Het aantal factoeren 5 in het product geeft de doorslag.
Dit aantal is 200 + 40 + 8 + 1 = 249.
Zaterdag 13 maart:
We mogen de grondtallen vervangen door hun resp. resten bij deling door 7:
35555 + 42222. Dit is te schrijven als
(35)1111 + (42)1111.
Volgens de bij donderdag genoemde eigenschap is dit deelbaar door
35 + 42 = 259, dus door 7.
Zondag 14 maart:
9999 × 10log 3 = 4770,74.. , dus het gevraagde aantal
cijfers is 4771.
Zondag 14 maart: Eervolle vermelding
D. Boonstra stuurde de redactie een oplossing voor vandaag, waarbij geen
rekenmachine nodig is. Zijn methode komt erop neer om met pen en papier een
schatting te maken van 10log 3, en gaat als volgt:
Bepaal een 'mooie' macht van 3 (of 9).
Bijvoorbeeld: 335 is net iets groter dan 5×1016.
210 is ongeveer 1000, dus 510 is dus iets kleiner
dan 107 (= 1010 / 1024).
Combineer deze twee benaderingen, en je krijgt 3350 =
(335)10.
Dit is ongeveer (5×1016)10, hetgeen weer
ongeveer gelijk is aan 107×10160 =
10167.